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FÍSICA

Teoría Elemental del Error

Cálculo de:
Valor más probable (𝑥_p),
Error del valor más probable (𝑒_l),
Error relativo (ε_r),
Error residual (𝑒_r),
Expresión del resultado final (𝑥).

Para mediciones directas.

Número de mediciones (𝑥_p):

Un poco de teoría:

Valor Más Probable ( 𝑥_p ) _{(Click para abrir)}

𝑥_{p} = \frac{(\sum_{𝑖 = 1}^{n} 𝑥_{𝑖})}{n}

𝑥_{p} = \frac{(\sum 𝑥_{𝑖})}{n}

En el contexto de las medidas, el valor más probable se refiere al valor que más probablemente representa el verdadero valor de una magnitud física, basado en un conjunto de observaciones o mediciones repetidas que están afectadas por errores aleatorios.

El valor más probable de una magnitud es el valor que, basado en las observaciones disponibles, se considera más cercano al valor verdadero.

Este valor se obtiene generalmente como una media ponderada de las mediciones individuales, especialmente cuando tienen diferente grado de precisión o fiabilidad.

Para un conjunto de medidas con igual precisión:

Si se tienen varias mediciones: 𝑥₁, 𝑥₂, ..., 𝑥_n, realizadas con la misma precisión, el valor más probable es simplemente la media aritmética:

𝑥_{p} = \frac{𝑥_{1} + 𝑥_{2} + ... + 𝑥_{n}}{n}

Ejemplo:

Medidas tomadas:

\begin{array}{l} 𝑥_{1} : 10.20 cm \\ 𝑥_{2} : 10.35 cm \\ 𝑥_{3} : 10.08 cm \end{array}} n : 3 (Cantidad de mediciones tomadas)

Resuelvo:

𝑥_{p} = \frac{10,20 cm + 10,35 cm + 10,08 cm}{3}

𝑥_{p} = \frac{30,63 cm}{3}

𝑥_{p} = 10,210 cm

Error del Valor Más Probable ( 𝑒_l ) _{(Click para abrir)}

Calculado con fórmula de Bessel:

$𝑒_{l} = \sqrt{\frac{\sum_{𝑖 = 1}^{n} (𝑥_{p} - 𝑥_{𝑖}) ²}{n \times (n - 1)}}$
$𝑒_{l} = \sqrt{\frac{\sum (𝑥_{p} - 𝑥_{𝑖}) ²}{n \times (n - 1)}}$

En el contexto de las medidas, El Error del Valor Más Probable (𝑒_l) cuantifica la dispersión de un conjunto de mediciones respecto al valor más probable (𝑥_p), considerando todas las diferencias cuadráticas entre las mediciones individuales y dicho valor.

La aproximación o el error de este resultado al valor más próximo verdadero, se obtendrá calculando la desviación normal del valor (𝑥_p). Conocida también como "error del valor más probable" o error cuadrático medio de la media aritmética; según la fórmula de Bessel:

Ejemplo:

Datos:

Medidas tomadas:
$𝑥 1 : 10.20cm 𝑥 2 : 10.35cm 𝑥 3 : 10.08cm n = 3 (Cantidad de mediciones tomadas)$
Valor Más Probable (𝑥_p):
$𝑥p = 10,21cm$

Resuelvo:
$𝑒_{l} = \sqrt{\frac{\sum (𝑥_{p} - 𝑥_{𝑖}) ²}{n \times (n - 1)}}$
$𝑒_{l} = \sqrt{\frac{(𝑥_{p} - 𝑥_{1}) ² + (𝑥_{p} - 𝑥_{2}) ² + (𝑥_{p} - 𝑥_{3}) ²}{n \times (n - 1)}}$
$𝑒_{l} = \sqrt{\frac{(10,21 - 10,20) ² + (10,21 - 10,35) ² + (10,21 - 10,08) ²}{3 \times (3 - 1)}}$
$𝑒_{l} = \sqrt{\frac{(0.01) ² + (-0.14) ² + (0.13) ²}{3 \times 2}}$ $𝑒_{l} = \sqrt{\frac{0.0001 + 0.0196 + 0.0169}{6}}$
$𝑒_{l} = \sqrt{\frac{0.0366}{6}}$
$𝑒_{l} = \sqrt{0.0061}$

$𝑒_{l} = \pm 0.078102$

Como el error debe de tener una (1) sola cifra significativa debemos redondear por exceso^(a) el valor que obtuvimos, entonces decimos que:

$𝑒_{l} = \pm 0.078102 \approx 0.08$

^(a)Redondear por exceso: consiste en aumentar el valor al siguiente número entero (o múltiplo deseado) más cercano, siempre que el número tenga una parte decimal distinta de cero.

Error Relativo ( ε_r ) _{(Click para abrir)}

$ε_{r} = \frac{𝑒_{l}}{𝑥_{p}}$

En el contexto de las medidas, Es el cociente entre el valor absoluto del error ( 𝑒_l ) llamado también error absoluto y el valor más probable ( 𝑥_p ) y es adimensional. Su cálculo nos permite comparar mediciones realizadas con diferentes instrumentos y determinar cuál de ellas es de mayor calidad.

Ejemplo:

Siguiendo con los datos que estamos usando en los ejemplos anteriores podemos decir que:

Datos:
$𝑒_{l} = \pm 0.08$
$𝑥_{p} = 10.21 cm$

Resuelvo:
$ε_{r} = \frac{𝑒_{l}}{𝑥_{p}}$
$ε_{r} = \frac{0.08}{10.21}$

$ε_{r} = 0.007835 \approx 0.008$

Esto significa que se ha cometido un error de 0.008 por unidad del valor medido. El error relativo ( ε_r ) indica la calidad de la medida. Da una bondad referancia más representativa sobre la bondad de una medición que el valor absoluto del error ( 𝑒_l ) o error absoluto.

Por ejemplo: Alguien midió la longitud (l) y el diámetro (d) de un eje con los siguientes resultados:
$l = (1100.5 \pm 0.5 cm)$
$d = (4.00 \pm 0.01 cm)$

A primera vista parece que la medición del diametro (d) fue mejor, sin embargo, si hacemos el cálculo del error relativo (ε_r) notamos que:
$ε_{r} = \frac{0.5}{1100.5} = 0.0005$
$ε_{r} = \frac{0.01}{4.00} = 0.003$

Los valores obtenidos indican que la medicion de la longitud (l) fue de mayor calidad.

Resultado Final ( 𝑥 ) _{(Click para abrir)}

$𝑥 = (𝑥_{p} - 𝑒_{l}, 𝑥_{p} + 𝑒_{l})$

Una vez calculado el "valor mas probable" y el "error del valor mas probable" podemos expresar el resultado final para la magnitud como:

$𝑥 = (10.21 \pm 0.08)$

Esto significa acotar el resultado, establecer un intervalo dentro del cual tenemos la certeza con cierta probabilidad de que el valor real se encuentra dentro de él, siendo el valor mas probable ( 𝑥_p )

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Error residual (𝑒_r),
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Para mediciones directas.

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Error del Valor Más Probable ( 𝑒_l ) _{(Click para abrir)}

Error Relativo ( ε_r ) _{(Click para abrir)}

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Desarrollos:

Un poco de teoría:

Valor Más Probable ( 𝑥p ) (Click para abrir)

Error del Valor Más Probable ( 𝑒l ) (Click para abrir)

Error Relativo ( εr ) (Click para abrir)

Resultado Final ( 𝑥 ) (Click para abrir)

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Error relativo (ε_r),
Error residual (𝑒_r),
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Error del Valor Más Probable ( 𝑒_l ) _{(Click para abrir)}

Error Relativo ( ε_r ) _{(Click para abrir)}

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